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\newtheorem{definition}{Definition}[section]%定义
\newtheorem{theorem}{Theorem}[section]%定理
\newtheorem{example}{Example}[section]%定理
\newtheorem{axiom}{Axiom}[section]%公理
\newtheorem{lemma}{Lemma}[section]%引理
\newtheorem{proposition}{Proposition}[section]%命题
\newtheorem{corollary}{Corollary}[section]%推论
\newtheorem{remark}{Remark}[section]%注


\title{\heiti\zihao{2} 复变函数-第7章-Fourier变换}
\author{20373963-樊若宸}
\date{\today}

\begin{document}
\maketitle
\section{Fourier级数}
\subsection{Fourier级数(有限Fourier变换)}
如果在一个区间上满足Dirichlet条件:

(1)连续或只有有限个第一类间断点

(2)只有有限个极值点

则在$f_{T}(t)$的连续点处,
\begin{equation}
    f_{T}(t) = \dfrac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}(a_n\cos n\omega t+b_n\sin n\omega t)
\end{equation}
其中
$$
\omega = \dfrac{2\pi}{T}\qquad a_0=\dfrac{2}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f_{T}(t)\mathrm{d}t
$$
以及
$$
\begin{aligned}
    a_n & = \dfrac{2}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f_{T}(t)\cos n\omega t \mathrm{d}t\\
    b_n & = \dfrac{2}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f_T(t)\sin n\omega t \mathrm{d}t
\end{aligned}
$$

如果函数分段光滑,则会在不连续点处收敛到$\dfrac{f(x_0^-+x_0^+)}{2}$

为了方便,可由欧拉公式知:
$$
\begin{aligned}
    f_T(t)&=\dfrac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}(a_n\cos n\omega t+b_n\sin n\omega t)\\
    &=\dfrac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left[\dfrac{a_n}{2}(\mathrm{e}^{in\omega t}+\mathrm{e}^{-in\omega t})-\dfrac{ib-n}{2}(\mathrm{e}^{in\omega t}-\mathrm{e}^{-in\omega t})\right]\\
    &=\dfrac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(\dfrac{a_n-ib_n}{2}\mathrm{e}^{in\omega t}+\dfrac{a_n+ib_n}{2}\mathrm{e}^{-in\omega t}\right)
\end{aligned}
$$

令$c_0=\dfrac{a_0}{2},c_n=\dfrac{a_n-ib_n}{2},c_{-n}=\dfrac{a_n+ib_n}{2}$,可得
$$
f_T(t)=\sum_{-\infty}^{+\infty}c_n\mathrm{e}^{in\omega t}
$$

其中$c_n$又可写为
$$
\dfrac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f_T(t)\mathrm{e}^{-in\omega t}\mathrm{d}t
$$

\begin{remark}
    需要注意的是,这种级数形式的Fourier变换只在一个周期内可以将函数展开成Fourier级数,其实也即在某个区间上能够比较好的逼近该函数,而在其他地方则以周期函数的形式存在.
\end{remark}
\subsection{Fourier积分变换}
现在讨论将$T$为$\infty$的函数使用Fourier的方法进行逼近.即将$f_T(t)$的区间$\left[-\dfrac{T}{2},\dfrac{T}{2}\right]$无限长,也即$T$无穷大,则可以使$f_T(t)$和$f(t)$相等的范围越大.最终$F_T(t)$可完全转化为$f(t)$.
$$
\lim_{T \to \infty}f_T(t)=f(t)
$$
\begin{lemma}
    $$
    \begin{aligned}
        \lim_{T\to\infty}f_T(t)&=\lim_{T\to\infty}\sum_{-\infty}^{+\infty}c_n\mathrm{e}^{in\omega t}\\
        &=\lim_{T\to\infty}\sum_{-\infty}^{+\infty}\left[\dfrac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f_T(\tau)\mathrm{e}^{-in\omega \tau}\mathrm{d}\tau\right]\mathrm{e}^{in\omega t}\\
        &=\dfrac{1}{2\pi}\lim_{\Delta\omega_n\to 0}\sum_{-\infty}^{+\infty}\left[\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f_T(\tau)\mathrm{e}^{-i\omega_n \tau}\mathrm{d}\tau\right]\cdot \mathrm{e}^{i\omega_n t}\Delta\omega_n
    \end{aligned}
    $$
    其中$\omega_n=n\omega,\Delta\omega_n = \omega_n-\omega_{n-1}=\omega = \dfrac{2\pi}{T}$
\end{lemma}
\begin{theorem}[Fourier积分定理]
    如果定义在$\mathbb{R}$上的函数$f(t)$满足下列条件:

    (1)$f(t)$在任何一个有限区间上满足Dirichlet条件

    (2)$f(t)$在$\mathbb{R}$上绝对可积

    则有Fourier积分公式收敛,且
    $$
    \dfrac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}\left[\int_{-\infty}^{+\infty}f(\tau)\mathrm{e}^{-i\omega \tau}\mathrm{d}\tau\right]\mathrm{e}^{i\omega t}\mathrm{d}\omega = \left\{\begin{array}{ll}
        f(t) & t\text{是}f(t)\text{的连续点}\\
        \dfrac{f(t+0)+f(t-0)}{2} & t\text{是}f(t)\text{的间断点}
    \end{array}\right.
    $$
    若令
    \begin{equation}
        F(\omega)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)\mathrm{e}^{-i\omega t}\mathrm{d}t
    \end{equation}
    则有
    \begin{equation}
        f(t)=\dfrac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}F(\omega)\mathrm{e}^{i\omega t}\mathrm{d}\omega
    \end{equation}
    则
    $$
    F(\omega)=\mathscr{F}[f(t)] = \int_{-\infty}^{+\infty}f(t)\mathrm{e}^{-i\omega t}\mathrm{d}t
    $$
    可记$F(\omega)=\mathscr{F}[f(t)]$为Fourier变换的像函数,$f(t)=\mathscr{F}^{-1}[F(\omega)]$为像原函数,它们构成一对Fourier变换对.
\end{theorem}
\begin{example}
    求$f(t)=\left\{\begin{array}{ll}
        1 & |t|\leqslant \delta\\
        0 & |t|>\delta
    \end{array}\right.$的Fourier变换并验证$\int_0^{\infty}\dfrac{\sin x}{x}\mathrm{d}x=\dfrac{\pi}{2}$.
    \begin{proof}
        $$
            \begin{aligned}
                F(\omega)&=\mathscr{F}[f(t)]=\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)\mathrm{e}^{-i\omega t}\mathrm{d}t\\
                &=\int_{-\delta}^{+\delta}\mathrm{e}^{-i\omega t}\mathrm{d}t\\
                &=2\dfrac{\sin \omega \delta}{\omega}
            \end{aligned}
        $$

        在连续点处,
        $$
            \begin{aligned}
                f(t) &= \dfrac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}\dfrac{2\sin \delta \omega}{\omega}\mathrm{e}^{i\omega t}\mathrm{d}\omega\\
                &=\dfrac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}\dfrac{2\sin\delta\omega}{\omega}\cos\omega t\mathrm{d}\omega+\dfrac{i}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}\dfrac{2\sin\delta\omega}{\omega}\sin\omega t\mathrm{d}\omega\\
                &=\dfrac{2}{\pi}\int_{0}^{+\infty}\dfrac{\sin\delta\omega}{\omega}\cos\omega t\mathrm{d}\omega
            \end{aligned}
        $$

        从而得到了一个重要的结论:
        $$
            \int_0^{+\infty}\dfrac{\sin\delta\omega}{\omega}\cos\omega t\mathrm{d}\omega = \left\{\begin{array}{ll}
                \dfrac{\pi}{2} & |t|<\delta\\
                \dfrac{\pi}{4} & |t|=\delta\\
                0 & |t|>\delta
            \end{array}\right.
        $$

        将$t=0$代入上式即得
        $$
            \int_0^{+\infty}\dfrac{\sin x}{x}\mathrm{d}x = \dfrac{\pi}{2}
        $$
    \end{proof}
\end{example}

\section{广义Fourier变换}
\subsection{}
\end{document}
